Projektivní geometrie I | |
 |
-
Afinní a projektivní rovina
- Definice afinní roviny, příklady konečných afinních rovin, reálná afinní rovina, izomorfismus afinních rovin
- Definice projektivní roviny, příklady konečných projektivních rovin, projektivní rozšíření afinní roviny
- Princip duality, přímá řada bodová a svazek přímek
- Desargueskovské a Pappovské projektivní roviny
- Projektivní rozšíření reálné afinní roviny
- Orientovaná přímka, dělící poměr 3 bodů na přímce
- Dělící dvojpoměr (ABCD), harmonická čtveřice
- Úplný čtyřroh a úplný čtyřstran
- Perspektivní a projektivní zobrazení
- Definice perspektivního zobrazení dvou svazků a dvou přímých řad bodových, Věta o jednoznačném určení perspektivvity, samodružné prvky perspektivit
- Definice projektivního zobrazení dvou svazků a dvou přímých řad bodových, Věta o jednoznačném určení projektivního zobrazení, direkční osa a direkční střed, doplňování projektivností, samodružné prvky soumístných projektivit. Charakteristika projektivnosti.
- Podobné a shodné zobrazení
- Involuce
- Definice involuce dvou soumístných lineárních útvarů, věta o jednoznačném určení involuce
- Střed involuce a mocnost involuce
- Samodružné body involuce - konstrukce samodružných bodů, hyperbolická a eliptická involuce
- Pravoúhlá involuce
- Projektivní definice kuželoseček
- Projektivní vytvoření kuželosečky, věta o jednoznačném určení kuželosečky, regulární a singulární kuželosečky, těčna kuželosečky v daném bodě, přímková kuželosečka
- Pascalova přímka a Brianchonův bod, konstrukce dalších bodů a tečen kuželosečky
- Jednoparametrické útvary kvadratické
- Dvojpoměr čtyř bodů na kuželosečce, dvojpoměr čtyř tečen kuželosečky
- Definice projektivity na kuželosečce, direkční osa projektivity, doplňování projektivnosti bodů na kuželosečkce, doplňování projektivnosti tečen kuželosečky
- Konstrukce samodružných bodů projektivnosti, hyperbolická, eliptická a parabolická projektivita
- Involuce na kuželosečce
Osa involuce a střed involuce na kuželosečce, věta o jednoznačném určení involuce
- Samodružné prvky involuce na kuželosečce, hyperbolická a eliptická involuce
- Doplňování involuce
- Polární vlastnosti kuželoseček
- Involuce indukovaná na kuželosečce daným bodem (*danou přímkou)
- Definice vnitřního a vnějšího bodu kuželosečky
- Definice pólu dané poláry, konstrukce poláry k danému pólu, konstrukce pólu k dané poláře kuželosečky
- Definice sdružených pólů (*sdružených polár) kuželosečky
- Polární trojúhelník
- Involuce sdružených polár indukovaná kuželosečkou v daném bodě,*involuce sdružených pólů indukovaná kuželosečkou na dané přímce
- Lineární soustavy kuželoseček
- Svazek kuželoseček (*řada kuželoseček)
- Desarguesova věta, její využití ke konstrukcím kuželoseček
- Weyrova věta
- Konstrukce kuželoseček v projektivním rozšíření afinní roviny
- Elipsa, hyperbola, parabola
- Střed kuželosečky, průměr kuželosečky, sdružené průměry kuželosečky, Konstrukce sdružených průměrů.
- Osy a Vrcholy kuželosečky. Asymptoty.
- Ohniskové vlastnosti kuželoseček
- Ohniska a řídící přímky kuželosečky
- Involuce vyťatá pravoúhlými páry sdružených polár na ose kuželosečky
- Numerická excentricita, metrické definice kuželoseček
- Elementární konstrukce kuželoseček
- Průvodiče daného bodu, normála kuželosečky
- Řídící a vrcholová kružnice středových kuželoseček
- Řídící přímka a vrcholová tečna paraboly, subtangenta a subnormála.
- Kružnice, mocnost bodu ke kružnici, chordála
- Vlastnosti asymptot hyperboly
Doporučená literatura
- Havlíček, K.: Úvod do projektivní geometrie kuželoseček. Praha, SNTL 1956
- Bureš, J.- Burešová, J.: Projektivní geometrie I. Skripta MFF UK Praha
- Kadeřávek-Klíma-Kounovský: Deskriptivní geometrie I. Praha, od 1926
* Duální pojem, duální věta