Description

• Nechť je na ploše X(u,v) dána křivka k(t)=X(u(t),v(t)). Definujme normálovou křivost křivky k(t) v daném bodě:  , kde  je úhel mezi hlavní normálou křivky a normálou plochy a k je křivost křivky v daném bodě. Platí, že všechny křivky na ploše, které procházejí daným bodem na ploše a mají v něm společnou tečnu mají stejnou normálovou křivost    , kde  a  jsou první a druhá základní forma plochy ( EFG , LMN ). V tečné rovině regulárního bodu plochy tedy máme pro každý směr definovanou normálovou křivost.
• V kruhovém bodě je ve všech směrech normálová křivost stejná. Bod je kruhový jsou-li úměrné první a druhá základní forma plochy . Směry, ve kterých je křivost extrémní nazýváme hlavní směry křivky.
• Směry, ve kterých je normálová křivost nulová jsou asymptotické směry. Bod, v němž je každý směr asymptotický nazýváme planární. V planárním bodě je identicky  .
• Křivka je asymtotickou křivkou plochy, je-li její normálová křivost v každém bodě nulová. Všechny přímky na ploše jsou asymptotické křivky plochy. Je-li v každém bodě křivky  oskulační rovina křivky totožná s tečnou rovinou plochy, je křivka asymptotickou křivkou plochy.
• Hyperbolickým bodem plochy procházejí dvě asymptotické křivky, jejich torze jsou navzájem opačné a součin torzí se rovná Gaussově křivosti plochy. Parabolickým bodem plochy prochází jedna asymptotická křivka a eliptickým bodem neprochází žádná asymptotická.  
• Z podmínky, že pro asymptotické křivky musí být v každém bodě normálová křivost kn=0  dostáváme rovnici pro asymptotické směry .
   což je ekvivalentní s jednodušší rovnicí = 0   ( lmn ). Procedura AsymptoticDir  vrací levou stranu rovnice. Rovnici vyřešíme pro neznámé souřadnice v bázi tečných vektorů  , . Vyřešením diferenciální rovnice pak získáme vztah mezi parametry u,v  plochy, tj. rovnici asymptotické křivky.
•  

Nejprve je třeba nastavit cestu, kde máte uloženou knihovnu "diffgeometry", např

>

restart;

>	with(diffgeometry):

Na sféře neexistují asymtotické směry . Rovnice nemá pro reálné x, y řešení

>	S:=[R*cos(u)*cos(v),R*sin(u)*cos(v),R*sin(v)];rovnice:=(AsymptoticDir(S,u,v))=0;

Asymptotické křivky helikoidu jsou při dané parametrizaci přímo parametrické křivky - šroubovice a přímky. Rovnici asymptotických směrů řeší x=0 a y=0, po dosazení , , tj. u=konst  a v=konst .

>	helicoid:=[u*cos(v),u*sin(v),v];AsymptoticDir(helicoid,u,v);

>	plot3d(helicoid, u=-2..2, v=0..2*Pi);

>

  LMN , EFG , GaussCurvature  , solve , dsolve