Description

• Gaussova křivost patří k základním charakteristikám plochy. Pomocí Gaussovy křivosti můžeme určit, zda je daný bod eliptický (GC>0) , parabolický (GC=0), nebo hyperbolický (GC<0).
• Důsledkem Gaussovy věty Theorema Egregium je, že plochy, které lze na sebe rozvinout (délkkojevně zobrazit) mají v odpovídajících si bodech stejnou Gaussovu křivost. Specielně, protože všechny body roviny jsou parabolické, lze danou plochu rozvinout do roviny právě tehdy, když je ve všech bodech plochy Gaussova křivost nulová, tedy pro všechny rozvinutelné plochy (kuželové plochy, válcové plochy a plochy tečen prostorové křivky) je Gaussova křivost identicky rovna nule.
• Je-li plocha zadána parametricky vektorovou funkcí X(u,v) = [x(u,v), y(u,v), z(u,v)], pak , kde D2  a D1  jsou diskriminanty druhé a první kvadratické formy plochy, tedy po dosazení   
• Příkaz je součástí uživatelské knihovny "diffgeometry".

Nejprve je třeba nastavit cestu, kde máte uloženou knihovnu "diffgeometry", např

>

restart;

>	with(diffgeometry);

Výpočet Gaussovy křivosti sféry o poloměru R.

>	S:=[R*cos(u)*cos(v),R*sin(u)*cos(v),R*sin(v)];GaussCurvature(S,u,v);

Gaussova křivost hyperbolického paraboloidu - přímkové plochy nad zborceným čtyřúhelníkem.  Pro grafické znázornění použijeme Gaussovu křivost jako funkci barvy..

>	hypparaboloid:=[u,v,u-2*v*u +v];GK:=GaussCurvature(hypparaboloid,u,v):plot3d(hypparaboloid, u=0..1, v=0..1,color=GK);

Gaussova křivost helikoidu je funkcí parametru křivky a tedy  je podél šroubovic stejná. Pro grafické znázornění použijeme Gaussovu křivost jako funkci barvy.  

>	helicoid:=[u*cos(v),u*sin(v),v];GK:=GaussCurvature(helicoid,u,v); plot3d(helicoid, u=0..2, v=0..2*Pi,color=GK);

Izometrické zobrazeni helikoidu na katenoid.

Dle věty Theorema Egregium existuje izometrické (délkojevné) zobrazení ploch, jestliž mají v odpovídajících si bodech stejnou křivost. Je zadán jednoparametrický systém ploch, pro specielní hodnoty parametru t tento systém obsahuje i helikoid a katenoid. Gaussova křivost všech ploch systému je stejná, není závislá na paremetru t  systému, tedy všechny plochy lze na sebe vzájemně rozvinout.

>	helicatenoid:=[cos(Pi*t/2)*sinh(v)*sin(u)+sin(Pi*t/2)*cosh(v)*cos(u),                     -cos(Pi*t/2)*sinh(v)*cos(u)+sin(Pi*t/2)*cosh(v)*sin(u),            u*cos(Pi*t/2)+v*sin(Pi*t/2)];

>	GC:=GaussCurvature(helicatenoid,u,v);

Animace izometrického zobrazeni helikoidu na katenoid. Plochy jsou obarveny Gaussovou křivostí

>	helcatplot := proc(t)

>

local X;

>	X := [cos(Pi*t/2)*sinh(v)*sin(u)+sin(Pi*t/2)*cosh(v)*cos(u), -cos(Pi*t/2)*sinh(v)*cos(u)+sin(Pi*t/2)*cosh(v)*sin(u),          u*cos(Pi*t/2)+v*sin(Pi*t/2)];

>	plot3d(X,u=0..2*Pi,v=-1..1,scaling=constrained,color=GC,orientation=[40,68],grid=[25,5],lightmodel=          light2,numpoints=400)

>

end:

>	plots[display3d](seq(helcatplot(t/20),t=0..20),insequence=true);

>

  LMN , EFG , plots[display]  , plot3d ,