Description

• Nechť je na ploše X(u,v) dána křivka k(t)=X(u(t),v(t)). Definujme normálovou křivost křivky k(t) v daném bodě:  , kde  je úhel mezi hlavní normálou křivky a normálou plochy a k je křivost křivky v daném bodě. Platí, že všechny křivky na ploše, které procházejí daným bodem na ploše a mají v něm společnou tečnu mají stejnou normálovou křivost    , kde  a  jsou první a druhá základní forma plochy ( EFG , LMN ). V tečné rovině regulárního bodu plochy tedy máme pro každý směr definovanou normálovou křivost.
• V kruhovém bodě je ve všech směrech normálová křivost stejná. Bod je kruhový jsou-li úměrné první a druhá základní forma plochy . Směry, ve kterých je křivost extrémní nazýváme hlavní směry křivky. V planárním a kruhovém bodě jsou všechny směry hlavní.
• Křivka je hlavní křivkou, je-li její tečna v každém bodě určena hlavním směrem. Hlavní křivky na ploše tvoří ortogonální síť. Parametrické křivky plochy jsou hlavními křivkami, je-li F=M=0.
• Procedura PrincipalMatrix  vrací matici . Rovnici pro hlavní směry získáme tak, že pložíme determinant matice rovný nule. Rovnici vyřešíme pro neznámé souřadnice v bázi tečných vektorů  , . Vyřešením diferenciální rovnice pak získáme vztah mezi parametry u,v  plochy, tj. rovnici hlavních křivek.

Nejprve je třeba nastavit cestu, kde máte uloženou knihovnu "diffgeometry", např

>

restart;

>	with(diffgeometry):

Sféra je parametrizovaná hlavními křivkami, identicky platí F=M=0. Pro všechny rotační plochy jsou hlavní křivky rovnoběžkové kružnice a meridiány.

>	S:=[R*cos(u)*cos(v),R*sin(u)*cos(v),R*sin(v)];(PrincipalMatrix(S,u,v));

Hlavní  křivky helikoidu.

>	helicoid:=[u*cos(v),u*sin(v),v]:rovnice:=linalg[det](PrincipalMatrix(helicoid,u,v));

Rovnici hlavních směrů řeší x =  a x = -  . po dosazení , , řešíme diferenciální rovnici

>	x1:=solve(rovnice,x)[1];x2:=solve(rovnice,x)[2];

>